Voor mijn zoon Tom en zijn vriendin Marie die ondanks Vraag 8 geslaagd en "gunstig gerangschikt" zijn voor het toelatingsexamen arts 2018.

Recent kreeg ik een interessant probleem over kansrekening voorgeschoteld. Het vraagstuk ging bij benadering als volgt:

$n$ personen van verschillende lengte gaan lukraak in een rij staan. De kans dat door de plaatsverwisseling van precies twee personen de rij netjes geordend kan worden van klein naar groot, bedraagt 1/48. Hoeveel personen staan in de rij?

Om dit op te lossen moeten we de gegeven kans uitdrukken in functie van de gevraagde parameter $n$. In het algemeen is een kans de verhouding tussen het aantal gunstige mogelijkheden en het totaal aantal mogelijkheden.

In dit geval is het totaal aantal mogelijkheden gelijk aan het aantal mogelijke ordeningen van de rij, namelijk $n!$

Om het aantal gunstige mogelijkheden te berekenen vertrekken we van de geordende rij. We zoeken het aantal rijen dat we kunnen bekomen door 2 posities van de geordende rij te verwisselen. Dat is immers ook het aantal rijen die omgezet kunnen worden in de geordende rij door de juiste posities te verwisselen. Wiskundig gezien is dit het aantal combinaties van 2 elementen uit $n$ elementen.

Dit aantal is $((n),(2)) = (n!)/(2!(n-2)!)$.

De gevraagde kans $p$ is dus:

`p = (((n),(2))) / (n!) = ((n!)/(2!(n-2)!)) / (n!) = 1/(2(n-2)!)`

Dit stellen we gelijk aan de gegeven kans om $n$ te berekenen:

`1/(2(n-2)!) = 1/48`

en dus

`(n-2)! = 24 = 4!`

waaruit volgt:

`n=6`

Dit alles als inleiding op het echte probleem ;-) Tijdens het toelatingsexamen arts 2018 werd in het deel Wiskunde namelijk een gelijkaardige vraag gesteld:

$n$ personen van verschillende lengte gaan lukraak in een rij staan. De kans dat door de plaatsverwisseling van precies twee personen de rij netjes geordend is van klein naar groot, bedraagt 1/48. Hoeveel personen staan in de rij?

In het eerste vraagstuk stond geordend kan worden, in dit tweede vraagstuk staat geordend is. Voor de interpretatie maakt dit een heel verschil. In het eerste vraagstuk zijn alle opties open. Als er geen ordening mogelijk is hoef je geen 2 posities te verwisselen. En als ze wel mogelijk is mag je net die 2 posities kiezen zodat de ordening tot stand komt.

In het tweede vraagstuk verdwijnt dat verband. Het enige wat gezegd wordt is dat je precies 2 posities dient te verwisselen, of dat nu zin heeft of niet, en of er nu ordening tot stand komt of niet. Met andere woorden: je moet 2 willekeurige posities van plaats verwisselen en zien waar je uitkomt.

De kansberekening voor het tweede geval is helemaal anders. Als je in een willekeurig geordende rij 2 willekeurige posities verwisselt, blijft het resultaat even goed een willekeurig geordende rij. De kans op een geordende rij is dan gewoon:

$p = 1/(n!)$

Voor $n=6$ geeft dat bijvoorbeeld een kans van 1/720 in plaats van van 1/48.

Het probleem is nu dat het antwoord $n=6$ op het eerste vraagstuk volgens de examencomissie het juiste antwoord is op het tweede vraagstuk, zoals het gesteld werd op het examen. Blijkbaar vond men het evident dat men de interpretatie van het eerste vraagstuk kan geven aan het tweede. Naar mijn oordeel is dit volledig fout. In werkelijk heeft het tweede vraagstuk geen oplossing.

Het meest juiste antwoord was dan ook geen antwoord geven. Maar eigenlijk zou deze vraag geneutraliseerd moeten worden, met excuses voor de schrandere studenten die er onnodig tijd mee hebben verloren.